סטודנטים יקרים. מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line

Transcript

1 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס חשיבה סטטיסטית. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.O-lie הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא. הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי, לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר. אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL ש בילך! בּ זה בּוּל. גוּל

2 תוכן פרק 1 - המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית ההסתברות... 4 פרק - המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת, שונות וסטיית תקן... 8 פרק 3 - המשתנה המקרי הבדיד - טרנספורמציה לינארית... 1 פרק 4 - תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים פרק 5 - התפלגויותבדידות מיוחדות - התפלגות בינומית פרק 6 - התפלגויותרציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית... 4 פרק 7 - הסקהסטטיסטית- הקדמה פרק 8 - התפלגותהדגימה ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי התפלגות מספר ההצלחות במדגם - הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית התפלגות פרופורציית ההצלחות במדגם... 5 פרק 9 - מושגים בסיסייםבאמידה פרק 10 פרק 11 פרק 1 פרק 13 פרק 14 פרק 15 - רווחסמךלתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה רווחסמך לפרופורציה קביעת גודל מדגם באמידת פרופורציה רווחסמךלהפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים כששונויות האוכלוסייה ידועות כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות והמדגמים בלתי תלויים רווחסמךלתוחלת ההפרש במדגם מזווג בדיקת השערות כללית בדיקתהשערותעל פרמטרים הקדמה טעויות בבדיקת השערות פרק 16 - בדיקתהשערותעלתוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסיה ידועה סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה מובהקות התוצאה ) P-VALUE ( בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה...10 בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה...15 מובהקות התוצאה ) P-VALUE ( כאשר שונות האוכלוסייה לא ידועה הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת פרק 17 - בדיקתהשערותעלפרופורציה פרק 18 התהליך סיכוי לטעויות ועוצמה מובהקות התוצאה בדיקתהשערותעלהפרשתוחלות במדגמיםבלתיתלויים כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחים שהן שוות פרק 19 - בדיקתהשערותעלתוחלתההפרשים במדגמים מזווגים (תלויים)...158

3 3 פרק 0 בדיקת השערות למדגמים מזווגים הקשרביןרווחסמך לבדיקתהשערותעלהפרשתוחלות

4 4 רקע: פרק - 1 המשתנה המקרי הבדיד - פונקציית ההסתברות משתנה מקרי בדיד : הנו משתנה היכול לקבל כמה ערכים בודדים בהסתברויות שונות. מתארים את המשתנה המקרי על ידי פונקציית הסתברות. פונקצית הסתברות : פונקציה המתאימה לכל ערך אפשרי של המשתנה את ההסתברות שלה. סכום ההסתברויות על פונקציית ההסתברות חייב להיות 1. למשל, בקזינו יש רולטה כמוראה בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה בש"ח. בנו את פונקציית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד ) פתרון בהקלטה).

5 5 תרגילים: ידוע שביישוב מסוים התפלגות מספר המכוניות למשפחה הוא: 50 משפחות אינן מחזיקות במכונית. 70 משפחות עם מכונית אחת. 60 משפחות עם מכוניות. 0 משפחות עם 3 מכוניות. בוחרים באקראי משפחה מהיישוב, נגדיר את Xלהיות מספר המכוניות של המשפחה שנבחרה. בנו את פונקציית ההסתברות של X. מהאותיות C,B,A יוצרים קוד דו תווי. א. כמה קודים ניתן ליצור? ב. רשמו את כל הקודים האפשריים ג. נגדיר את X להיות מספר הפעמים שהאות B מופיעה בקוד, בנו את פונקציית ההסתברות של X..1. תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה. כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 0.8 והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 0.9. הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו יהי X מספר המבחנים שהסטודנט עבר. בנה את פונקצית ההסתברות של X..3 הסיכוי לזכות במשחק מסוים הינו 0.3. אדם משחק את המשחק עד אשר הוא מנצח אך בכל מקרה הוא לא משחק את המשחק יותר מ 4 פעמים. נגדיר את X להיות מספר הפעמים שהוא שיחק את המשחק. בנה את פונקצית ההסתברות של X..4 חברה לניהול פרויקטים מנהלת 3 פרויקטים במקביל. הסיכוי שפרויקט א' יצליח הינו 0.7. הסיכוי שפרויקט ב' יצליח הינו 0.8. הסיכוי שפרויקט ג' יצליח הינו 0.9. נתון שהצלחת כל פרויקט בלתי תלויה זו בזו. נגדיר את X להיות מספר הפרויקטים שיצליחו. בנה את פונקצית ההסתברות של X..5

6 6 להלן פונקציית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו: k P( X = k) = A k = 1,...4 מצא את ערכו של A..6

7 7 פתרונות שאלה x P(x) שאלה x P(x) שאלה X P(x) שאלה 6 10

8 8 פרק - המשתנה המקרי הבדיד - תוחלת, שונות וסטיית תקן רקע: E( X ) = x P( x ) = µ i i i V ( X ) = ( x µ ) P( x ) = x P( x ) µ = σ i i i i i i תוחלת ממוצע של פונקציית ההסתברות, אם נבצע את התהליך אינסוף פעמים כמה בממוצע נקבל. התוחלת היא צפי של המשתנה המקרי. שונות תוחלת ריבועי הסטיות מהתוחלת ההסתברות. נותן אינדיקציה על הפיזור והסיכון של פונקציית סטיית תקן- שורש של השונות. הפיזור הממוצע הצפוי סביב התוחלת. למשל, בקזינו רולטה כמוראה בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה בש"ח x P(x) E( X ) = =.5= µ V X x µ P x ( ) = ( i ) ( i ) = (10.5) (0.5) (30.5) 0.5 i = 68.75= σ כדי לחשב את סטיית התקן נוציא שורש לשונות: σ = V ( X ) = = 8.9 x

9 9 תרגילים: אדם משחק במשחק מזל. נגדיר את X להיות סכום הזכייה. להלן פונקצית ההסתברות של X: X p (X) מהי התוחלת,השונות וסטית התקן של X?.1 בישוב מסוים שני סניפי בנק, בנק פועלים ובנק לאומי. מתוך האוכלוסייה הבוגרת בישוב ל- 50% חשבון בנק בסניף הפועלים של הישוב. ל- 40% חשבון בנק בסניף הלאומי של הישוב. ל 0% מהתושבים הבוגרים אין חשבון בנק בישוב. יהי X מס' סניפי הבנק שלבוגר בישוב יש חשבון. חשב את E(X). ידוע של- 0% מהמשפחות יש חיבור לווייני בביתם. בסקר אדם מחפש לראיין משפחה המחוברת ללוויין. הוא מטלפן באקראי למשפחה וממשיך עד אשר הוא מגיע למשפחה המחוברת ללוויין. בכל מקרה הסוקר לא יתקשר ליותר מ- 5 משפחות. נגדיר את X להיות מספר המשפחות שאליהן האדם יתקשר. א. בנו את פונקציית ההסתברות של X. ב. חשבו את התוחלת וסטיית תקן של X לאדם צרור מפתחות. בצרור 5 מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו. האדם מנסה את המפתחות באופן מקרי. לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי לא להשתמש בו שוב. נסמן ב- X את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח. א. בנה את פונקצית ההסתברות של X. ב. חשב את התוחלת והשונות של X.

10 10 5. נתונה פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי X: x P(x) כמו כן נתון ש: E( X ) = 4. א. מצא את ההסתברויות החסרות בטבלה. ב. חשב את.V ( X ).6 משתנה מקרי בדיד מקבל את הערכים מצא את פונקצית ההסתברות ו 5. נתון שהתוחלת של המשתנה 0 ושהשונות היא. 10

11 11 פתרונות: שאלה 1 תוחלת : שונות: 796 שאלה 3 ב. תוחלת : 3.36 סטיית תקן: שאלה 4 א x P(x) ב. תוחלת: 3 שונות שאלה 5 א x P(x) ב שאלה x P(x)

12 1 פרק - 3 המשתנה המקרי הבדיד - טרנספורמציה לינארית רקע מצב שבו מבצעים הכפלה של קבועה ו או הוספה של קבוע על המשתנה המקורי. ) כולל גם חלוקה של קבוע והחסרה של קבוע) אם אזי: E( Y) = ae( X ) + b V Y a V X ( ) = ( ) Y = ax + b σ Y = aσ x שלבי העבודה:.1..3 נזהה שמדובר בטרנספורמציה ליניארית ) שינוי קבוע לכל התצפיות). נרשום את כלל הטרנספורמציה לפי נתוני השאלה. נפשט את הכלל ונזהה את ערכי.b ו a.4 נציב בנוסחאות שלעיל בהתאם למדדים שנשאלים. דוגמה - הרולטה: בהמשך לנתוני שאלת הרולטה נתון שעלות השתתפות במשחק 15 מהי התוחלת והשונות של הרווח במשחק? פתרון ) בהקלטה) חישבנו קודם ש : E( X ) =.5= µ V ( X ) = 68.75= σ

13 13 תרגילים: סטודנט ניגש ל- 5 קורסים הסמסטר. נניח שכל קורס שסטודנט מסיים מזכה אותו ב- 4 נקודות אקדמאיות. חשב את התוחלת והשונות של סך הנקודות שיצבור הסטודנט כאשר נתון שתוחלת מספר הקורסים שיסיים היא 3.5 עם שונות..1 תוחלת סכום הזכייה במשחק מזל הינו 10 עם שונות 3 הוחלט להכפיל את סכום הזכייה במשחק. עלות השתתפות במשחק הינה. 1 מה התוחלת ומהי השונות של הרווח במשחק?. תוחלת של משתנה מקרי הינה 10 אותו ב- 10%. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן לאחר השינוי? וסטית התקן. 5 הוחלט להוסיף למשתנה ולאחר מכן לעלות.3 X הינו משתנה מקרי. כמו כן נתון ש-.V ( X ) = ו- 3 E( X ) = 4.4. Y = 7 X הינו משתנה מקרי חדש עבורו Y חשב את:.V( Y) ו- E( Y) אדם החליט לבטח את רכבו, שווי רכבו. 100,000 להלן התביעות האפשריות והסתברותן: בהסתברות של 1/1000 תהיה תביעה טוטאלוסט (כל שווי הרכב). בהסתברות של 0.0 תהיה תביעה בשווי מחצית משווי הרכב. בהסתברות של 5% תהיה תביעה בשווי רבע משווי הרכב. אחרת אין תביעה בכלל. החברה מאפשרת תביעה אחת בשנה. נסמן ב- X את גובה התביעה השנתית באלפי א. בנו את פונקצית ההסתברות של X. ב. חשבו את התוחלת והשונות של גובה התביעה. ג. פרמיית הביטוח היא, 4,000 מהי התוחלת ומהי השונות של רווח חברת הביטוח לביטוח הרכב הנ"ל?.5

14 14 יהי Xמספר התשובות הנכונות במבחן בו 10 שאלות. פונקציית ההסתברות של Xנתונה בטבלה הבאה: X P(x).6 כמו כן נתון שצפי מספר התשובות הנכונות בבחינה הוא א. השלימו את פונקציית ההסתברות. ב. חשבו את השונות מספר התשובות הנכונות בבחינה. ג. הציון בבחינה מחושב באופן הבא: כל שאלה נכונה מזכה ב- 10 נקודות. לכל שאלה שגוייה, מופחתת נקודה. מהי התוחלת ומה השונות של הציון בבחינה? להלן פונקצית הסתברות של משתנה מקרי כלשהו: k P( X = k) = A k = 1,...4 א. מצא את ערכו של A. ב. ג. חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הנחקר. חשב את 3 E( X ).7 X 4 ד. חשב את התוחלת והשונות של המשתנה הבא:

15 15 פתרונות : שאלה 1: תוחלת: 14 שונות: 3 שאלה : תוחלת: 8 שונות: 1 שאלה 3: תוחלת: 13. סטיית תקן : 5.5 שאלה 4: תוחלת: 3 שונות: 3 שאלה 6: V( X ) = : 7 ב. שאלה א. A=10 E( X ) = 3 V ( X ) = 1 E X 3 ( ) = 35.4 V X 3 ( ) = E( y) =.5 V ( y) = 0.5 ב. ג. ד.

16 16 פרק - 4 תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים רקע: X,..., X, אם X1 משתנים מקרים אזי: E( T) = E( X + X X ) = E( X ) + E( X ) E( X ) 1 1 X,..., X, אם X1 משתנים מקריים בלתי תלויים בזוגות, אזי: V( T) = V( X + X X ) = V( X ) + V ( X ) V ( X ) 1 1 למשל, אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים. תוחלת סכות הזכייה של המשחק הראשון היא 7 עם סטיית תקן 3. תוחלת סכום הזכייה של המשחק השני היא - ומהי השונות של סכום הזכייה הכולל של שני המשחקים יחד? עם סטיית תקן. 4 מה התוחלת

17 17 תרגילים: הרווח ממניה א' הוא עם תוחלת של 5 ושונות 10. הרווח ממניה ב' הוא עם תוחלת של 4 ושונות 5. ידוע שההשקעות של שתי המניות בלתי תלויות זו בזו. מה התוחלת והשונות של הרווח הכולל מהשקעה בשתי המניות יחד?.1 X ו- Y הם משתנים בלתי תלויים, סטיית התקן של X היא 3. סטיית התקן של Y היא 4. מהי סטיית התקן של?X+Y. אדם משחק בשני משחקי מזל בלתי תלויים זה בזה: X= סכום הזכיה במשחק הראשון. Y= סכום הזכייה במשחק השני..3 נתון: σ ( X ) = 3 E( x) = 10 σ ( Y) = 4 E( y) = 1 מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של סכום הזכייה בשני המשחקים? ברולטה הסיכוי לזכות ב- 30 הוא חצי וב- 10 רבע כך גם ב-. 0 מה היא התוחלת והשונות של סכום הזכייה הכולל לאדם המשחק ברולטה 4 פעמים..4 נתון משתנה מקרי בעל פונקציית ההסתברות הבאה : A P( X = K) = K=,3,4,5 K 1 אחרת 0.5.X א. ב. מצא את ערכו של A. חשב את התוחלת והשונות של ג. נלקחומשתנים מקריים בלתי תלויים מההתפלגות הנ"ל. בטאו באמצעותאת תוחלת והשונות של סכום המשתנים.

18 18 פתרונות: שאלה 1 תוחלת: 9 שונות : 15 שאלה 3 תוחלת : סטיית תקן: 5 שאלה 4 תוחלת : 90 שונות : 75 שאלה 5 1 A= = א. ב. תוחלת.9 שונות תוחלת.9 שונות ג.

19 19 פרק - 5 התפלגויות בדידות מיוחדות - התפלגות בינומית רקע: נגדיר את המושג ניסוי ברנולי: ניסוי ברנולי הנו ניסוי שיש לו שתי תוצאות אפשריות : " הצלחה" ו" כישלון " כמו : מוצר פגום או תקין אדם עובד או מובטל עץ או פלי בהטלת מטבע וכדומה. בהתפלגות בינומית חוזרים על אותו ניסוי ברנולי פעמים באופן בלתי תלוי זה בזה. מגדירים את X להיות מספר ההצלחות שהתקבלו בסך הכול. נסמן ב p את הסיכוי להצלחה בניסוי בודד וב q את הסיכוי לכישלון בניסוי בודד.. X ~ B (, p ) ואז נגיד ש : פונקציית ההסתברות של : X k,, , ; P( X = k) = k p ( p ) 1 = 0 1, k k לכל k =! k!( k)! ;! = ( 1) ( )... 1 ; 0! כאשר 1: = לגודל : ניתן לחשב באמצעות המחשבון. k E( X ) V( X ) = p = pq תוחלת : שונות: שימו לב כדי לזהות שמדובר בהתפלגות בינומית צריכים להתקיים כל התנאים הבאים : 1) חוזרים על אותו ניסוי ברנולי באופן בלתי תלוי זה בזה. ) חוזרים על הניסוי פעמים. X מוגדר כמספר ההצלחות המתקבלות בסך הכול. (3

20 0 דוגמה : ) פתרון בהקלטה ( במדינה מסוימת ל- 80% מהתושבים יש רישיון נהיגה. נבחרו 10 תושבים אקראיים מהמדינה. א. מהי ההסתברות שבדיוק ל- 9 מהם יש רישיון נהיגה? ב. מה ההסתברות שלפחות ל- 9 מהם יש רישיון נהיגה? ג. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר התושבים שנדגמו ושיש להם רישיון נהיגה?

21 1 תרגילים: במדינה 10% מהאוכלוסייה מובטלת. נבחרו 5 אנשים באקראי מאותה אוכלוסיה. נגדיר את Xלהיות מספר המובטלים שהתקבלו במדגם. א. מהי ההתפלגות של X? מה ההסתברות שיהיה בדיוק מובטל אחד? ב. מה ההסתברות שכולם יעבדו במדגם? ג. מה ההסתברות ששלושה יעבדו במדגם? ד. ה. מה ההסתברות שלפחות אחד יהיה מובטל? מה תוחלת ומהי השונות של מספר המובטלים במדגם? ו..1 על פי נתוני משרד התקשורת ל- 70% מהאוכלוסייה יש סמארט-פון. נבחרו 10 אנשים באקראי. נגדיר את Xכמספר האנשים שנדגמו עם סמארט-פון.. א. ב. ג. ד. מהי ההתפלגות של X? הסבירו. מה ההסתברות שבמדגם ל- 8 אנשים יש סמארט-פון? מה ההסתברות שבמדגם לפחות ל- 9 יהיו סמארט-פון? מה התוחלת ומה סטיית התקן של מספר האנשים שנדגמו ולהם סמארט-פון? בבית הימורים יש שורה של 6 מכונות מזל מאותו סוג. משחק במכונת מזל כזו עולה. 5 ההסתברות לזכות ב-, 0 בכל אחת מהמכונות היא 0.1 וההסתברות להפסיד את ההשקעה היא 0.9 בכל מכונה. מהמר נכנס לבית ההימורים ומכניס 5 לכל אחת מ- 6 המכונות. א. מה ההסתברות שיפסיד בכל המכונות? ב. מה ההסתברות שיזכה בדיוק בשתי מכונות? ג. מה ההסתברות שיזכה ביותר כסף מה- 30 שהשקיע? ד. מהן התוחלת וסטיית התקן של הרווח נטו של המהמר (הזכיות בניכוי ההשקעה)?.3 4. במדינה מסוימת התפלגות ההשכלה בקרב האוכלוסייה מעל גיל 30 היא כזו: השכלה נמוכה תיכונית תואר I תואר II ומעלה פרופורציה 0.1 נבחרו 0 אנשים אקראיים מעל גיל 30 מהמדינה הנ"ל. א. מה ההסתברות ש- 5 מהם אקדמאים? ב. מה התוחלת של מס' בעלי ההשכלה הנמוכה?

22 במכללה מסוימת 0% מהסטודנטים גרים בת"א. מבין הסטודנטים שגרים בת"א 30% מגיעים ברכבם ומבין הסטודנטים שלא גרים בת"א 50% מגיעים ברכבם למכללה. א. השומר בשער המכללה בודק לכל סטודנט את תיקו בהיכנסו למכללה. מה ההסתברות שבקרב 5 סטודנטים שנבדקו ע"י השומר רק 1 מתוכם הגיע למכללה ברכבו? ב. בהמשך לסעיף הקודם מה ההסתברות שרוב הסטודנטים בקרב ה- 5 הגיעו למכללה ברכבם?.5 במבחן אמריקאי 0 שאלות. סטודנט ניגש למבחן והסיכוי שהוא יודע שאלה היא 0.8. אם הוא לא יודע הוא מנחש את התשובה. לכל שאלה 4 תשובות אפשריות שרק אחת מהן נכונה..6 א. ב. ג. מה הסיכוי לענות על שאלה מסוימת נכון? מה הסיכוי שיענה נכונה על בדיוק 16 שאלות? על כל שאלה שענה נכון התלמיד מקבל 5 נקודות, על כל שאלה ששגה מופחתת נקודה, מה התוחלת ומהי השונות של ציון התלמיד? 7. 5% מקו היצור פגום. המוצרים נארזים בתוך קופסת קרטון. בכל קופסא 10 מוצרים שונים. הקופסאות נארזות בתוך מכולה. בכל מכולה 0 קופסאות. א. מה ההסתברות שבקופסא אקראית לפחות מוצר פגום אחד? ב. מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר הקופסאות במכולה בהן לפחות מוצר פגום אחד?

23 3 פתרונות : : 7 שאלה א ב. תוחלת : 8.05 שאלה : ב ג ד. תוחלת : 7 סטיית תקן : סטיית תקן :.193 : 3 שאלה א ב ג ד. תוחלת : 18- סטיית תקן : שאלה 4: א ב. : 5 שאלה א ב : 6 שאלה א ב ג. תוחלת : 8 נקודות שונות : 91.8 נקודות

24 4 פרק - 6 התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית רקע: התפלגות נורמלית הינה התפלגות של משתנה רציף. ישנם משתנים רציפים מסוימים שנהוג להתייחס אליהם כנורמליים כמו: זמן ייצור, משקל תינוק ביום היוולדו ועוד. פונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית נראית כמו פעמון: לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת נבדלת מהשנייה באמצעות הממוצע וסטיית התקן שלה. אלה הם הפרמטרים שמאפיינים את ההתפלגות. X N µ σ (, ) נוסחת פונקציית הצפיפות : f ( x µ ) 1 σ ( x) = e πσ כדי לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית יש לחשב את השטחים הרלבנטים שמתחת לעקומה. כדי לחשב שטחים אלה נמיר כל התפלגות נורמלית להתפלגות נורמלית סטנדרטית על ידי תהליך הנקרא תקנון. התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן היא אחת והיא תסומן באות Z. תהליך התקנון מבוצע על ידי הנוסחה הבאה : אחרי תקנון מקבלים ערך הנקרא ציון תקן. ציון התקן משמעו בכמה סטיות תקן הערך סוטה מהממוצע. Z N (0,1 ) X µ Z = σ לאחר חישוב ציון התקן של ערך מסוים נעזרים בטבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית לחישוב השטח הרצוי.

25 5 ובאופן כללי נתאר את הסכמה הבאה : X N µ σ (, ) Z N(0,1 ) X µ Z= σ שימוש בטבלה P Ф(a) 1-Ф(a) a Ф(-a)=1- Ф (a) Ф(a) -a

26 6 טבלת ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית ערכי Φ(z) Φ(z) z z z Φ(z)

27 7 דוגמה: (הפתרון בהקלטה) גרם. א. ב. ג. ד. משקל חפיסות שוקולד המיוצרות בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע 100 גרם בסטיית תקן של 8 מה אחוז חפיסות השוקולד ששוקלות מתחת ל- 110 גרם? מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מעל 110 גרם? מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מתחת ל 9 גרם? מהו המשקל ש 90% מהחפיסות בקו הייצור שוקלים פחות מהם?

28 8 תרגילים: 1. הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 170 ס"מ וסטית תקן של 10 ס"מ. א. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל ס"מ.? ב. מה אחוז האנשים שגובהם מעל 190 ס"מ? ג. מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק ס"מ? ד. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 170 ס"מ? ה. מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר 170 ס"מ?. נתון שהזמן שלוקח לתרופה מסוימת להשפיע מתפלג נורמלית עם ממוצע של 30 דקות ושונות של 9 דקות רבועות. א. מהי פרופורציית המקרים בהן התרופה תעזור אחרי יותר משעה? ב. מה אחוז מהמקרים שבהן התרופה תעזור בין 35 ל- 37 דקות? ג. מה הסיכוי שהתרופה תעזור בדיוק תוך 36 דקות? ד. מה שיעור המקרים שבהן ההשפעה של התרופה תסטה מ- 30 דקות בפחות מ- 3 דקות? המשקל של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 60 ק"ג וסטיית תקן של א. ב. ג. ד. 8 ק"ג. מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ- 55 ק"ג? מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 50 ק"ג? מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין 60 ל- 70 ק"ג? לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ- 4 ק"ג? ה. מה הסיכוי שאדם אקראי ישקול מתחת ל 140 ק"ג?.3 א. ב. 4. משקל תינוקות ביום היוולדם מתפלג נורמלית עם ממוצע של 3300 מצאו את העשירון העליון. מצאו את האחוזון ה 95. ג. מצאו את העשירון התחתון. גרם וסטיית תקן 400 גרם.

29 9 ב. ג. ד. 5. ציוני מבחן אינטיליגנציה מתפלג נורמלית עם ממוצע א. מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה? מה העשירון התחתון של ההתפלגות? מהו הציון ש- 0% מהנבחנים מקבלים מעליו? מהו האחוזון ה- 0? ה. מהו הציון ש- 5% מהנבחנים מקבלים מתחתיו? 100 ושונות נפח משקה בבקבוק מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של 0 מ"ל, נתון ש 33% מהבקבוקים הם עם נפח שעולה על מ"ל. א. מה ממוצע נפח משקה בבקבוק? ב. 5% מהבקבוקים המיוצרים עם הנפח הגבוה ביותר נשלחים לבדיקה, החל מאיזה נפח שולחים בקבוק לבדיקה? ג. 1% מהבקבוקים עם הנפח הקטן ביותר נתרמים לצדקה, מהו הנפח המקסימלי לצדקה? 7. אורך חיים של מכשיר מתפלג נורמלית. ידוע שמחצית מהמכשירים חיים פחות מ- 500 שעות, כמו כן ידוע ש- 67% מהמכשירים חיים פחות מ- 544 שעות. א. מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? ב. מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר? ג. מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ- 460 שעות? ד. מהו המאון העליון של אורח חיי מכשיר? ה. 1% מהמכשירים בעלי אורך החיים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה. מהו אורך החיים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?

30 30 8. להלן שלוש התפלגויות נורמליות של שלוש קבוצות שונות ששורטטו באותה מערכת צירים. ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל בינהן. א.לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר? א. ב. במה מבין המדדים הבאים התפלגות 1 ו זהות? בעשירון העליון. ב. בממוצע. ג. א. ב. ג. ד. בשונות. 1 3 ג. לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטנה ביותר? אין לדעת. הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודתו מתפלג נורמלית עם ממוצע של 40 דקות וסטית תקן של 5 דקות. א. מה ההסתברות שמשך הנסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי השעה? ב. אדם יצא לעבודתו בשעה 08:10 מביתו. הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה. 09:00 מה הסיכוי שיאחר לעבודתו? ג. אם ידוע שזמן נסיעתו לעבודה היה יותר משלושת רבעי השעה. מה ההסתברות שזמן הנסיעה הכולל יהיה פחות מ- 50 דקות? ד. מה הסיכוי שבשבוע (חמישה ימי עבודה ( בדיוק פעם אחת יהיה זמן הנסיעה לפחות שלושת רבעי השעה?.9

31 31 ההוצאה החודשית לבית אב בעיר "טרירה" מתפלגת נורמלית עם ממוצע של 000 דולר וסטית תקן של 300 דולר. בחרו באקראי 5 בתי אב. ההסתברות שלפחות אחד מהם מוציא בחודש מעל ל- T דולר היא א. ב. ג. מה ערכו של T? מה הסיכוי שההוצאה החודשית של בית אב בעיר תהיה לפחות סטיית תקן אחת מעל T? מסתבר שנפלה טעות בנתונים, ויש להוסיף 100 דולר להוצאות החודשית של כל בתי האב בעיר. לאור זאת, מה ההסתברות שההוצאה החודשית של בית אב נמוכה מ דולר?.10 אורך שיר אקראי המשודר ברדיו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 3.5 דקות וסטיית תקן של שלושים שניות. א. מה ההסתברות שאורך של שיר אקראי המנוגן ברדיו יהיה בין 3 ל.5 דקות? ב. מהו הטווח הבין רבעוני של אורך שיר המשודר ברדיו? ג. ביום מסוים מנוגנים 00 שירים ברדיו. כמה שירים מתוכם תצפה שיהיו באורך הנמוך מ 3.5 דקות? ד. בשעה מסוימת שודרו 8 שירים. מה ההסתברות שרבע מהם בדיוק היו ארוכים מ- 4 דקות והיתר לא?.11

32 3 פתרונות : שאלה 1 א. 89.5% ב..8% ג. 0 ד. 50% שאלה % א % ב % ג ד. 100% ה. שאלה א ב ג ד. שאלה א. 100 ב ג. 733 ד. 67 ה. שאלה 8 א. 3 ב. בממוצע. ג. 1 שאלה א ב ג ד. שאלה א ב ג. שאלה א ב. 100 ג. 0.5 ד.

33 33 רקע: פרק - 7 הסקה סטטיסטית - הקדמה אוכלוסייה קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית. למשל, חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת הסוכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסוכרת בעולם. מדגם חלק מתוך האוכלוסייה. למשל, אם נדגום באקראי 10 אנשים מתוך חולי הסוכרת אז זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הסוכרת. במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה, היא גדולה מידי, אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית מהמדגם לאוכלוסייה. הדגימה בקורס תהייה דגימה מקרית סיכויי להיכלל במדגם. הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו סטטיסטי גודל המחושב על המדגם. פרמטר גודל המתאר את האוכלוסייה. הסימונים לפרמטר וסטטיסטי הם שונים למשל: ממוצע סטטיסטי (מדגם) פרמטר (אוכלוסייה) µ P X p פרופורציה (שכיחות יחסית) פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם ולכן יש לו התפלגות הנקראת התפלגות הדגימה.

34 34 דוגמה (פתרון בהקלטה): 5% מאזרחי המדינה תומכים בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים. הוחלט לדגום 00 אזרחים ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק. א. ב. ג. ד. ה. ו. מי האוכלוסייה? מה המשתנה? מה הפרמטרים? מהו גודל המדגם? מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם? האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי?

35 35 תרגילים : 1. מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה 78 עם סטיית תקן של 15. א. מי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו גודל המדגם?. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב "העוגן". נגדיר את xלהיות מספר המקלטים של משפחה אקראית. מתכננים לדגום מאוכלוסיה זו 4 משפחות ולהתבונן בממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה במדגם. מספר המשפחות סך הכול = 1000 N מספר מקלטים א. מיהי האוכלוסייה ומהו המשתנה הנחקר? ב. מהו הסטטיסטי שיילקח מהמדגם ומה סימונו? 3. נתון כי 0% מהשכירים במדינה הם אקדמאיים. נבחרו באקראי 10 שכירים באותה אוכלוסייה ומתכננים לפרסם את מספר האקדמאיים שנדגמו. א. מהי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה באוכלוסייה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו הסטטיסטי?

36 36 פרק - 8 התפלגות הדגימה ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי רקע: xi בפרק זה נדון בהתפלגות של ממוצע המדגם : = x מכיוון שממדגם למדגם אנו יכולים לקבל ממוצע מדגם שונה, אזי ממוצע המדגם הוא משתנה מקרי ויש לו התפלגות. גדלים המתארים התפלגות כלשהי או אוכלוסייה כלשהי נקראים פרמטרים. להלן רשימה של פרמטרים החשובים לפרק זה: ממוצע האוכלוסייה נסמן ב ) µ נקרא גם תוחלת ). שונות אוכלוסייה נסמן ב-. σ סטיית תקן של אוכלוסייה:. σ א. תכונות התפלגות ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה: E( x ) = µ = µ x שונות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשונות האוכלוסייה מחולק ב-. תכונה זו נכונה רק במדגם מקרי: V ( x) x = σ = σ יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שונות ממוצעי המדגם. אם נוציא שורש לשונות נקבל סטיית תקן של ממוצע המדגם שנקראת גם טעות תקן: σ σ ( x) = = σ דוגמה: (פתרון בהקלטה) השכר הממוצע במשק הינו 9000 עם סטיית תקן של דגמו באקראי 5 עובדים. א. מי אוכלוסיית המחקר? מהו המשתנה הנחקר? ב. מהם הפרמטרים של האוכלוסייה? ג. מה התוחלת ומהי סטית התקן של ממוצע המדגם?

37 37 ב. דגימה מהתפלגות נורמאלית אם נדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתנה בה מתפלג נורמאלית עם ממוצע µושונות המדגם גם יתפלג נורמאלית: σ x ~ N ( µ, ) x µ Z x = σ דוגמה: (פתרון בהקלטה) משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 3400 σממוצע גרם וסטיית תקן של 400 גרם. מה ההסתברות שבמדגם של 4 תינוקות אקראיים בעת הולדתם המשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל- 3.5 ק"ג? ג. משפט הגבול המרכזי אם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע µ ושונות σ ממוצע המדגם מתפלג בקירוב נורמאלית ), µ. x ~ N( ( 30 ) עבור מדגם מספיק גדול σאזי דוגמה: (פתרון בהקלטה) משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע 100 גרם וסטיית תקן של 4 גרם. דגמו מקו הייצור 36 חפיסות שוקולד אקראיות. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד שנדגמו יהיה מתחת ל 10 גרם?

38 38 תרגילים : מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה 78 עם סטיית תקן של 15. א. מי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו גודל המדגם? ה. מהו תוחלת ממוצע המדגם? ו. מהי טעות התקן?.1. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב מסוים: מספר המשפחות סך הכול 10000=N מספר מקלטים נגדיר את x להיות מספר המקלטים של משפחה אקראית. א. בנו את פונקצית ההסתברות של x. ב. חשבו את התוחלת, השונות וסטיית התקן של x. ג. אם נדגום 4 משפחות מהישוב עם החזרה מה תהיה התוחלת, מהי השונות ומהי סטיית התקן של ממוצע המדגם? 3. אם נטיל קובייה פעמיים ונתבונן בממוצע התוצאות שיתקבלו, מה תהיה התוחלת ומה תהיה סטיית התקן של ממוצע זה?

39 39 4. משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 3400 גרם וסטיית תקן של 400 גרם א. מה ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ גרם? נתון כי ביום מסוים נולדו 4 תינוקות. ב. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על 4 ק"ג? ג. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל-.5 ק"ג? ד. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ- 50 גרם? ה. הסבירו ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם היה מדובר על יותר מ- 4 תינוקות? 5. הגובה של המתגייסים לצה"ל מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 175 ס"מ וסטיית תקן של 10 ס"מ. ביום מסוים התגייסו 16 חיילים. א. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה לפחות 190 ס"מ? ב. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה בדיוק 180 ס"מ? ג. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יסטה מתחולת הגבהים בפחות מ- 5 ס"מ? ד. מהו הגובה שבהסתברות של 90% הגובה הממוצע של המדגם יהיה נמוך ממנו? 6. הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו 30 דקות עם שונות של 16 דקות רבועות. האדם נוסע לעבודה במשך שבוע 5 פעמים. לצורך פתרון הניחו שזמן הנסיעה לעבודה מתפלג נורמאלית. א. מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע יהיה מעל 33 דקות? ב. מהו הזמן שבהסתברות של 90% ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה גבוה ממנו? ג. מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ- 30 דקות בלפחות דקות? ד. כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם האדם היה נוסע לעבודה 6 פעמים בשבוע? 7. נפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 750 סמ"ק וסטיית תקן של 10 סמ"ק. א. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק 755 סמ"ק? ב. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ 755 סמ"ק? ג. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות 755 סמ"ק? ד. בקבוקיי היין שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהקערה?

40 40 8. משתנה מתפלג נורמאלית עם תוחלת 80 וסטיית תקן. 4 א. מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם הוא 9? ב. מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא 16? ג. הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים. 9. בקזינו ישנה רולטה. על הרולטה רשומים המס' הבאים כמוראה בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה. א. בנו את פונקצית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד. ב. מה התוחלת ומה השונות של סכום הזכייה? ג. אם האדם ישחק את המשחק 5 פעמים מה התוחלת ומה השונות של ממוצע סכום הזכייה בחמשת המשחקים? ד. אם האדם משחק את המשחק 50 פעם מה ההסתברות שבסה"כ יזכה ב ומעלה? 10. לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא 8000 עם סטיית תקן של מה ההסתברות שבמדגם מקרי של 100 עובדים השכר הממוצע יהיה יותר מ-? מטילים קובייה 50 פעמים בכל פעם מתבוננים בתוצאה של הקובייה. מה ההסתברות שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות 3.7 ב- 50 ההטלות? 1. אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של 70 ס"מ וסטיית תקן של 10 ס"מ. א. נלקחו באקראי 100 מוטות, מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 68 ל 78 ס"מ? ב. יש לחבר בניינים באמצעות מוטות. המרחק בין שני הבניינים הינו 700 ס"מ. מה ההסתברות ש 100 המוטות יספיקו למלאכה? ג. מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי, כדי שבהסתברות של 5% ממוצע המדגם יהיה קטן מ- 69 ס"מ. העזר במשפט הגבול המרכזי. 13. נתון משתנה מקרי בדיד בעל פונקצית ההסתברות הבאה: X ¼ ¼ ¼ ¼ P(X) מתוך התפלגות זו נלקח מדגם מקרי בגודל. 50 מה הסיכוי שממוצע המדגם יהיה קטן מ- 5?

41 41 _ X 14. נתון ש X דגמו 5 תצפיות מאותה התפלגות והתבוננו בממוצע המדגם : (, ) N µ σ לכן ) µ P( X > יהיה : ) בחר בתשובה הנכונה ( _ א. 0 ב. 0.5 ג. 1 ד. לא ניתן לדעת. 15. נתון ש X מתפלג כלשהו עם תוחלת : µושונות. σ החליטו לבצע מדגם בגודל 00 מתוך ההפלגות הנתונה לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים ש: (בחר בתשובה הנכונה ( X σ N( µ, ) 00 א. σ N(, ) 00 ב. µ µ _ X (, ) ג. N µ σ X σ N ( µ, ) 00 ד. אזי : X Xi = i= 1.16 נתון ש ) σ N ( µ,. X אם נדגום תצפיות מתוך ההתפלגות ונגדיר (בחר בתשובה הנכונה) א. µו- X יהיו משתנים מקריים. ב. µיהיה משתנה מקרי ו X קבוע. µקבוע. ג. X יהיה משתנה מקרי ו ד. µ ו X יהיו קבועים.

42 4 פתרונות: שאלה א. X P(x) µ =.05σ = σ = µ =.05σ = X X ב. ג. σ ( X ) = שאלה 3 µ = 3.5 X σ ( X ) = 1.1 שאלה א. ב. ג. ד. שאלה 6 א ב ג שאלה א. ב. ג. ד.

43 43 שאלה א. ב שאלה 9 א P(x) ב. התוחלת:.5 השונות: ג. התוחלת:.5 השונות: ד שאלה שאלה שאלה 1 א ב ג. 71 שאלה 14 התשובה ב שאלה 15 התשובה ד שאלה 16 התשובה ג

44 44 רקע: התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי T = i= 1 X i כעת נדון בסטטיסטי המבטא את סכום התצפיות במדגם כאשר כל התצפיות נדגמו באקראי מאותה אוכלוסייה. כלומר, היו ושונותה - משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה שתוחלתה µ X,..., 1 X σאזי: א. התוחלת והשונות של סכום התצפיות: E( T ) = µ V ( T ) = σ ב. דגימה מתוך התפלגות נורמלית: T N µ σ ~ (, ) T µ Z = σ X אם ) σ ~ N ( µ, אזי ג. משפט הגבול המרכזי : E( X ) = µ V ( X ) = σ אם x מתפלג כלשהו וידוע אזי עבור מדגם מספיק גדול 30) (לפחות T N ~ ( µ, σ ) דוגמה: ) פתרון בהקלטה) בעיר מסוימת המשכורת הממוצעת של עובד הינה עם סטיית תקן של. 000 נדגמו 100 עובדים מהעיר שמפקידים את משכורותיהם לסניף בנק. א. מה התוחלת וסטיית התקן של סך המשכורות שיופקדו לסניף הבנק על ידי העובדים הללו? ב. מה ההסתברות שלסניף יופקד פחות מ- 780 אלף ע"י אותם עובדים? ) (

45 45 תרגילים: המשקל באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 60 ק"ג וסטיית תקן של 10 ק"ג. א. מה הסיכוי שאדם אקראי מהאוכלוסייה ישקול מתחת ל- 65 ק"ג? ב. מה הסיכוי שהמשקל הממוצע של 4 אנשים אקראיים יהיה מתחת ל- 65 ק"ג? ג. מה הסיכוי שהמשקל הכולל של 4 אנשים אקראיים יהיה מתחת ל- 40 ק"ג?.1 נפח יין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 750 מ"ל וסטיית תקן של 0 מ"ל. אדם קנה מארז של 4 בקבוקי יין. א. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של נפח היין במארז? ב. את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו 3.1 ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהכלי? ג. אם לא היה נתון שנפח היין מתפלג נורמאלית. האם התשובה לסעיף א הייתה משתנה? האם התשובה לסעיף ב הייתה משתנה?. בספר כלשהו 500 עמודים. קצב הקריאה הממוצע הוא עמוד אחד ב 4 דקות עם סטיית תקן של 1 דקות. א. מה ההסתברות לסיים את הפרק הראשון (40 עמודים) תוך שעתיים וחצי? ב. מהו האחוזון ה- 95 לזמן סיום קריאת הספר?.3

46 46 פתרונות: שאלה 1 א ב ג. 0.5 שאלה א. תוחלת 3000 מ"ל וסטיית תקן 40 מ"ל ב

47 47 התפלגות מספר ההצלחות במדגם - הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית רקע: תזכורת על התפלגות בינומית בפרק זה נדון על התפלגות מספר ההצלחות במדגם אקראי ) תצפיות בלתי תלויות זו בזו). מספר ההצלחות במדגם נסמן ב Y. מחלקים כל תצפית במדגם להצלחה או כישלון. כעת מה שמשתנה מתצפית לתצפית הוא משתנה דיכוטומי ) משתנה שיש לו שני ערכים). תצפית כישלון הצלחה. הסיכוי להצלחה יסומן עם הפרמטר p וכישלון יסומן ע"י הפרמטר =q 1 p מבצעים מדגם אקראי בגודל. Y ~ B(, p) p( y= k) = k k ( ) p q k פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית היא : E ( y) = p תוחלת : V ( y) שונות: = pq

48 48 קירוב נורמלי עבור התפלגות בינומית Y ~ B(, p) אם לפנינו התפלגות בינומית : ומתקיים ש : p 5.1 (1 p) 5. y ~ N( p, pq) Z y y p = pq אז : תיקון רציפות: כאשר משתמשים בקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית יש לבצע תיקון רציפות. הסיבה שעוברים כאן מהתפלגות בדידה להתפלגות נורמלית שהיא התפלגות רציפה. על פי הכללים הבאים: 1 1 p( Y = a) p( a Y a+ ).1 P( Y a) P( Y a+ 0.5). P( Y a) P( Y a 0.5).3

49 49 הערות: התנאים למעבר מבינומי לנורמלי הם נזילים, כלומר משתנים ממרצה אחד לשני. התנאי שהצגתי כאן הוא הפופולרי ביותר: p 5.1 (1 p) 5. ישנם מרצים שנותנים את התנאי המחמיר הבא: p 10.1 (1 p) 10..( 30) וישנם מרצים שפשוט התנאי שהם נותנים הוא : תאלצו לבדוק מהו התנאי שנתנו לכם בכיתה כדי לעבור מהתפלגות בינומית לנורמלית. הערה נוספת היא לגבי תיקון רציפות. ישנם מרצים שלא מחייבים לבצע תיקון רציפות שהמדגמים גדולים ) בדרך כלל מעל 100 תצפיות) אני בפתרונות שאציג תמיד אבצע תיקון רציפות במעבר מבינומי לנורמלי כיוון שכך הפתרון יהיה יותר מדויק ) בכל מקרה שהמדגמים גדולים העניין זניח). דוגמה: (הפתרון בהקלטה ( נתון שבקרב אוכלוסיית הנוער 5% זקוקים למשקפיים. נדגמו באקראי 48 בני נוער. א. ב. מה הסיכוי שבדיוק 14 מתוכם יהיו זקוקים למשקפיים? מה הסיכוי שלכל היותר 13 מתוכם זקוקים למשקפיים?

50 50 תרגילים: 1. נתון ש- 0% מאוכלוסייה מסוימת אקדמאית. נבחרו באקראי 10 אנשים באותה אוכלוסייה. א.מה ההסתברות ששלושה מהם אקדמאים? ב. מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם אקדמאי? ג. מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר האקדמאים במדגם?. במפעל 10% מהמוצרים פגומים. נלקחו 100 מוצרים באקראי מקו הייצור. א.מה ההסתברות שנדגמו לפחות 6 מוצרים פגומים? ב. מה ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים יהיה לכל היותר 11 במדגם? ציוני פסיכומטרי בקרב הנרשמים למוסד מסוים מתפלגים נורמאלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100. למוסד מסוים הוחלט לקבל אך ורק סטודנטים שקיבלנו מעל 600 בפסיכומטרי. 100 סטודנטים אקראיים נרשמו למוסד. מה ההסתברות שלפחות 0 יתקבלו?.3 מטילים מטבע 50 פעמים. א. מה ההסתברות לקבל לכל היותר 30 עצים? ב. מה ההסתברות לקבל 8 עצים לפי התפלגות הבינומית ולפי הקירוב הנורמאלי?.4 במטוס מקום ל- 400 נוסעים. נרשמו לטיסה 430 אנשים.(overbookig) מנתונים סטטיסטיים ידוע שהסיכוי שאדם שנרשם לטיסה אכן יגיע הוא 0.9. א. מה ההסתברות שלא יהיו מקומות ישיבה לכל האנשים שהגיעו לטיסה? ב. מה צריך להיות גודל המטוס כדי שבסיכוי שלפחות 95% המטוס יספיק לכמות הנרשמים?.5 מפעל לייצור ארטיקים טוען ש הסיכוי שארטיק שהוא מייצר יהיה פגום הוא מוכר הזמין 1000 ארטיקים מהמפעל. מה ההסתברות שהמוכר יקבל לפחות 980 ארטיקים תקינים אם טענת המפעל מוצדקת?.6 מהמר מטיל קובייה הוגנת 100 פעמים. בכל הטלה, אם מתקבל תוצאה זוגית בקובייה המהמר זוכה בשקל. אחרת, המהמר משלם שקל. המהמר הטיל את הקובייה 100 פעמים מה הסיכוי שהרווח של המהמר יהיה לכל היותר? 10.7

51 51 שאלה 1 א ב ג. התוחלת :, סטיית התקן : פתרונות: שאלה א ב שאלה שאלה 4 א שאלה 5 א שאלה שאלה

52 5 התפלגות פרופורציית ההצלחות במדגם רקע: בפרק זה נדון על התפלגות הדגימה של פרופורציית המדגם. Y- מספר ההצלחות במדגם (למשל, מספר המובטלים במדגם) - פרופורציית ההצלחות במדגם ) למשל, שיעור המובטלים במדגם ( p= y למשל, = 00 Y = 0 מספר המובטלים : p= פרופורציית המובטלים במדגם = נסמן ב- pאת שיעור ההצלחה באוכלוסייה וב- qאת שיעור הכישלונות באוכלוסייה. נבצע מדגם מקרי ) הנחה שהתצפיות בלתי תלויות זו בזו) ונתבונן בהתפלגות של פרופורציית המדגם. התוחלת, השונות וסטיית התקן של פרופורציית המדגם: E( Pˆ ) = p ˆ pq V ( P) = pq σ ( pˆ ) = משפט הגבול המרכזי עבור הפרופורציה המדגמית : pq p ~ N( p, ) p 5& q אם 5 אזי Z p = p p pq

53 53 הערות: התנאים לקרוב הנורמאלי הם נזילים, כלומר משתנים ממרצה אחד לשני. התנאי שהצגתי כאן הוא הפופולרי ביותר: p 5.1 (1 p) 5. ישנם מרצים שנותנים את התנאי המחמיר הבא: p 10.1 (1 p) 10..( 30) וישנם מרצים המשתמשים בתנאי : תאלצו לבדוק מהו התנאי שנתנו לכם בכיתה כדי לעבור לנורמלית. כיוון שפרופורציה אינה חייבת להיות מספר שלם בהכרח לא נהוג לבצע כאן תיקון רציפות. דוגמה : (פתרון בהקלטה ( לפי נתוני משרד החינוך בעיר ירושלים ל- 60% מתלמידי התיכון זכאים לתעודת בגרות. נדגמו 00 תלמידי תיכון. א. מה ההסתברות שהשכיחות היחסית (p ( של הזכאים לבגרות במדגם תעלה על 60%? ב. מה ההסתברות שפרופורציית הזכאים לבגרות במדגם תעלה על 70%?

54 54 תרגילים: במדינה מסוימת 10% מכלל האוכלוסייה הינם מובטלים. נדגמו באקראי 140 אנשים מהמדינה. א. מה התוחלת ומהי השונות של פרופורציות המובטלים שנדגמו? ב. מה ההסתברות שבמדגם לפחות 10% יהיו מובטלים? ג. מה ההסתברות שלכל היותר 9% מהמדגם יהיו מובטלים?.1 נניח כי 30% מהאוכלוסייה תומכים בהצעת חוק מסוימת. אם נדגום מהאוכלוסייה 00 איש. חשבו את ההסתברויות הבאות: א. לפחות 35% יתמכו בהצעת החוק במדגם. ב. לכל היותר 5% יתמכו בהצעת החוק במדגם. ג. יותר מ 7% יתמכו בהצעת החוק במדגם.. לפי נתוני משרד התקשורת 40% מהאוכלוסייה מחזיקים בטלפון נייד מסוג "סמארטפון". נדגמו 400 אנשים מהאוכלוסייה. א. מה ההסתברות שבמדגם לכל היותר ל 40% יש סמארטפון? ב. מה ההסתברות שבמדגם לרוב יש סמאטרפון? ג. מה ההסתברות שפרופורציית בעלי הסמרטפון במדגם תסטה מהפרופורציה באוכלוסייה בלא יותר מ- 4%? ד. כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם?.3 נתון כי 80% מבתי האב מחוברים לאינטרנט. נדגמו 400 בתי אב אקראיים. א. מה ההסתברות שלפחות 340 מהם מחוברים לאינטרנט? ב. מה ההסתברות שפרופורציית המחוברים לאינטרנט במדגם תסטה מהפרופורציה האמתית ביות מ- 4%? ג. כמה בתי אב יש לדגום כדי שהסטייה בין הפרופורציה המדגמית לפרופורציה האמתית לא תעלה על 3% בהסתברות של 90%? ד. מהו העשירון התחתון של התפלגות פרופורציית המדגם?.4 נתון שציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם תוחלת 500 וסטיית תקן 100. ל"מועדון ה- 700" נכללים נבחנים שמקבלים ציון מעל 700 בפסיכומטרי. מה הסיכוי שבמועד בו נבחנו 000 נבחנים אקראיים יהיו לפחות 3% המשתייכים למועדון?.5

55 55. Pˆ = X X נתון ש p) B(, נגדיר את המשתנה הבא :.6 א. הוכיחו ש: E( Pˆ ) = p V ( Pˆ ) = P(1 P) ˆP )V להיות במקסימום? ) מה ב. pהמביא את

56 56 פתרונות: שאלה 1 א. התוחלת: 0.1, השונות: ב. 0.5 ג שאלה א ב ג שאלה 3 א. 0.5 ב. 0 ג ד. גדלה שאלה 4 א ב

57 57 פרק - 9 מושגים בסיסיים באמידה רקע: כזכור מהמפגש הקודם פרמטר הוא גודל המתאר את האוכלוסייה או התפלגות מסוימת. כמו ממוצע הגבהים בקרב מתגייסים לצה"ל-. µ כמו פרופורציית התומכים בממשלה בקרב אזרחי המדינה - p. בדרך כלל הפרמטרים הם גדלים שאינם ידועים באמת, ולכן מבצעים מדגמים במטרה לאמוד אותם. אין אפשרות לחשב אותם הניסיון הוא בלהעריך כמה הם שווים ככל שניתן. נסמן באופן כללי פרמטר באות θואומד ב- ˆθ. ˆθ הוא סטטיסטי המחושב על המדגם ובאמצעותו נאמוד את θ. שגיאת אמידה: ˆ θ θ - ההפרש בין האומד לאמת(הפרמטר). דוגמה: (פתרון בהקלטה) בכנסת ה- 19 קיבלה מפלגת העבודה 15 מנדטים. בערוץ 10 ברגע סגירת הקלפיות העריכו את מספר המנדטים של המפלגה להיות 17 מנדטים וזאת על סמך תוצאות מדגם של הערוץ. מה הפרמטר בדוגמה זו? מהי טעות האמידה של ערוץ 10? E( ˆ θ) = θ : θ תהיה שווה ל ˆθ התוחלת של יהיה אומד חסר הטיה לθאם ˆθ טעות התקן של אומד היא סטיית התקן שלו, כלומר : σ ( ˆ θ ) = S. E

58 58 להלן פרמטרים מרכזיים והאומדים שלהם: ממוצע האוכלוסייה: µ x x = האומד הנקודתי שלו יהיה : ממוצע המדגם. µ הינו אומר חסר הטיה ל x לכן E(x) µ= σ σ ( x) = = SE כמו כן טעות תקן: פרופורציה באוכלוסייה: p p= ˆ y האומד הנקודתי שלו יהיה: פרופורציה במדגם:. p לכן ˆp הינו אומר חסר הטיה ל E ( pˆ ) = p σ ( Pˆ ) = p (1 p) כמו כן טעות התקן: שונות האוכלוסייה: σ ( x ) i x S = 1 האומד הנקודתי שלו יהיה : ולכן σ. הינו אומד חסר הטיה ל S E( S ) = σ ( x ) i x x x S = = 1 1 i הערה: אומד הוא הנוסחה הכללית לאמידת הפרמטר ואומדן הוא הערך הספציפי שהתקבל במדגם מסוים.

59 59 דוגמה: ) פתרון בהקלטה) נדגמו 10 משפחות בתל אביב ונבדק עבור כל משפחה מספר הילדים שלה. להלן התוצאות שהתקבלו:,1,3,,1,4,5,,1,3 אמדו באמצעות אומדים חסרי הטיה את הפרמטרים הבאים: ממוצע מספר הילדים למשפחה בתל אביב. שונות מספר הילדים למשפחה בתל אביב פרופורציית המשפחות בנות שני ילדים.

60 60 תרגילים: 1. מתוך 500 טירונים נמצאו 10 בעלי שברי הליכה. נתון שהסיכוי שטירון יהיה עם שבר הליכה הוא 0.5. א. מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב. מהי טעות התקן של האומד כשהמדגם בגודל 500? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה?. לפי נתוני היצרן מקרר צורך בממוצע 400 וואט לשעה עם סטיית תקן של 500 וואט לשעה. במדגם של 5 מקררים של היצרן התקבל ממוצע של א.מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב.מהי טעות התקן של האומד? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה? 34 וואט לשעה. 3. נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל. גובהם נמדד בס"מ. להלן התוצאות שהתקבלו: 177,168,187,177,180,171,19,184,168 ו א. ב. ג. מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות 180 ס"מ. 0 i = 1 i 4. נדגמו 0 שכירים באקראי. עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים. להלן התוצאות שהתקבלו: 0. i = 1 X i = 150. X = 16 א. אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק. ב. אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק.

61 61 5. במטרה לאמוד את ממוצע האוכלוסייה. דגמו תצפיות בלתי תלויות מהאוכלוסייה וחישבו את הממוצע שלהם. מהי טעות התקן? א. סטיית התקן של האוכלוסייה. ב. סטיית התקן של ממוצע האוכלוסייה. ג. סטיית התקן של המדגם. ד. סטיית התקן של ממוצע המדגם. 6. משקל הממוצע של אוכלוסייה מסוימת הוא 75 ק"ג עם שונות של. 5 אם יבחרו כל המדגמים האפשריים בגודל 10 מאוכלוסייה זו סטיית התקן של ממוצעי המדגמים תהייה: א. 3 ב..5 ג ד.אין מספיק נתונים לדעת. במדגם מקרי, מתי סכום ריבועי הסטיות מהממוצע, א. כאשר קטן. ב. כאשר תצפיות המדגם אינן בלתי תלויות. ג. כאשר האוכלוסייה אינה מתפלגת נורמאלית., מחולק ב- ד. כאשר מעוניינים באומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ממנה הוצא המדגם. ה. כאשר מעוניינים לחשב את שונות התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם.? 1 i= 1 (x x) i.7 X1, X,......, X16 מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת ממוצע µ לא ידוע ושונות.8 = 64. σ טעות התקן של האומד ל- µ היא: א. 16 ב. 8 ג. 4 ד.

62 6.9 מהו אומד חסר הטיה? א. ב. ג. ד. אומד שערכו שווה לממוצע התפלגות הדגימה שלו. אומד שערכו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. אומד שממוצע התפלגות הדגימה שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. אומד שהסיכוי שערכו יהיה גבוה מערך הפרמטר באוכלוסייה שווה לסיכוי שיהיה נמוך ממנו.

63 63 פתרונות: שאלה 3 א ב ג. 0.4 שאלה 4 א. 8.1 ב שאלה 5 התשובה היא ד. שאלה 6 התשובה היא ג. שאלה 7 התשובה היא ד. שאלה 8 התשובה היא ד. שאלה 9 התשובה היא ג.

64 64 רקע: פרק - 10 רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה ממוצע המדגם הוא אומד לממוצע האוכלוסייה, אך לא באמת ניתן להבין ממנו על גודלו של ממוצע האוכלוסייה. ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בדיוק כמו הממוצע האמתי הוא אפסי. מה שנהוג לעשות כדי לאמוד את ממוצע האוכלוסייה זה לבנות רווח סמך. נבנה מרווח בטחון שהסיכוי שהפרמטר µ ייכלל בתוכו הוא α-1. α-1 : נקרא רמת בטחון או רמת סמך. כך ש: P( A µ B) = 1 α A- גבול התחתון של רווח הסמך B- הגבול העליון של רווח הסמך L= B A - אורך רווח הסמך דוגמה : (פתרון בהקלטה) חוקר דגם 5 חיילים שנבחנו במבחן הפסיכומטרי. הוא בנה רווח סמך לממוצע הציונים במבחן הפסיכומטרי בקרב אוכלוסיית החיילים וקיבל בין 510 ל רווח הסמך נבנה ברמת סמך של.95% מהי אוכלוסיית המחקר? מה המשתנה באוכלוסייה? מה הפרמטר שהחוקר רצה לאמוד? מהו רווח הסמך? מה אורך רווח הסמך? מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?

65 65 בפרק זה נרצה לבנות רווח סמך לתוחלת ) µ ( במקרה ש σ (שונות האוכלוסייה) ידועה µ הפרמטר שנרצה לאמוד: האומד נקודתי: x 1 התנאים לבניית רווח הסמך: או 30 X ~ N σ (שונות האוכלוסייה) ידועה הנוסחה לרווח הסמך: σ x± Z α 1 דוגמה : (פתרון בהקלטה ( על פי נתוני היצרן אורך חיי סוללה מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 1 שעה. מעוניינים לאמוד את תוחלת חיי סוללה. נדגמו באקראי 4 סוללות, אורך החיים הממוצע שהתקבל הוא 13.5 שעות. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת אורך חיי סוללה.

66 66 שגיאת האמידה המקסימלית: σ ε = Z α 1 ε -נותן את שגיאת האמידה המקסימלית, דבר שנקרא גם טעות סטטיסטית, טעות דגימה. דוגמה : (פתרון בהקלטה ( בהמשך לשאלה עם הסוללות. מה ניתן להגיד בביטחון של 95% על שגיאת האמידה? קשרים מתמטיים ברווח הסמך:. L= ε אורך רווח הסמך הוא פעמיים שגיאת האמידה המקסימלית : X A+ B ממוצע המדגם נופל תמיד באמצע רווח הסמך: = ככל שמספר התצפיות () גבוה יותר, כך יש יותר אינפורמציה ולכן האומד יותר מדויק, ולכן נקבל רווח סמך יותר קצר. ככל שרמת הביטחון (1 α ) גבוהה יותר כך z 1 α יותר גבוה, ורווח הסמך יותר ארוך.

67 67 תרגילים : חוקר התעניין לאמוד את השכר הממוצע במשק. על סמך מדגם הוא קבע שבביטחון של -95% כי השכר הממוצע במשק נע בין 900 ל א. מי האוכלוסייה במחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר שאותו רוצים לאמוד? ד. מה רווח הסמך לפרמטר? ה. מהי רמת הסמך לפרמטר? ו. מה אורך רווח הסמך? ז. מה הסיכוי שטעות הדגימה תעלה על? מעוניינים לאמוד את התפוקה היומית הממוצעת של מפעל מסוים ברמת סמך של 95%. במדגם אקראי של 100 ימים התקבלה תפוקה ממוצעת 4950 מוצרים ביום. לצורך פתרון הנח שסטיית התקן האמתית ידועה ושווה 150 מוצרים ביום. בנה את רווח הסמך.. מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר. מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 0 שעות. נדגמו 5 מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם היה 30 שעות. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ב. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ג. הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך..3 דגמו 00 עובדים מהמשק הישראלי. השכר הממוצע שלהם היה נניח שסטיית התקן של השכר במשק היא א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לתוחלת השכר במשק. ב. מה ניתן לומר בביטחון של 95% על הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לתוחלת השכר? ג. מה היה צריך להיות גודל המדגם אם הינו רוצים להקטין את רווח הסמך ב 50%? ד. אם היינו מגדילים את גודל המדגם ובונים רווח סמך באותה רמת סמך האם היה ניתן לטעון בביטחון רב יותר שרווח הסמך מכיל את הפרמטר? בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה. ידוע שסטיית התקן היא 15 והמדגם מתבסס על 100 תצפיות. רווח הסמך שהתקבל הוא (99,105). שחזרו את : א. ממוצע המדגם. ב. ג. שגיאת האמידה המקסימאלית. רמת הסמך..4.5

68 68 זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים. חברת תרופות מעוניינת לחקור אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה. במחקר השתתפו 60 אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את האנטיביוטיקה החדשה. בממוצע הם החלימו לאחר 4 ימים. א. בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של.90% ב. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי 4? הסבירו. ג. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה יותר? הסבירו..6 חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא:. 8 <µ < 9 נתון שסטיית התקן בהתפלגות שווה ל- 10 ושהמדגם מתבסס על 16 תצפיות. התפלגות המשתנה היא נורמאלית. א. מהו ממוצע המדגם? ב. מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה? ג. מה הסיכוי ששגיאת האמידה באמידת ממוצע האוכלוסייה תעלה על? 5.7 חוקר בנה רווח סמך לתוחלת כאשר השונות בהתפלגות ידועה ברמת סמך של 95%. אם החוקר כעת יבנה על סמך אותם נתונים רווח סמך ברמת סמך קטנה מ- 95%, מי מהמשפטים הבאים אינו יהיה נכון. א. אורך רווח הסמך החדש יהיה קטן יותר. ב. גודל המדגם יהיה כעת קטן יותר. ג. המרחק בין ממוצע המדגם לקצות רווח הסמך יהיו קטנים יותר ברווח הסמך החדש. ד. רמת הביטחון לבנות רווח הסמך החדש תהיה קטנה יותר..8 חוקר בנה רווח סמך ל- µוקיבל < 54 µ >48 מה נכון בהכרח: א. 51 = µ ב. = 6 X ג. = 51 X ד. אורך רווח הסמך הינו 3..9 איזה מהגורמים הבאים אינו משפיע על גודלו של רווח בר סמך, כאשר שונות האוכלוסייה ידועה? (בחר בתשובה הנכונה) א.רמת הביטחון. ב. סטיית התקן באוכלוסייה. ג. מספר המשתתפים. ד. סטיית התקן במדגם..10

69 69.11 חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא:. 63< µ < 83 נתון שסטיית התקן בהתפלגות הייתה ידועה לו ושהמדגם התבסס על 40 תצפיות. א. אם החוקר היה רוצה לבנות רווח סמך באורך 10. כמה תצפיות עליו היה לדגום? ב. רווח הסמך שנבנה על ידי החוקר היה ברמת סמך של 95%. בנה את רווח הסמך שהיה מתקבל ברמת סמך של 98%. 1. נתון משתנה מקרי רציף מתפלג אחיד : X U ( µ 0.5, µ + 0.5) i.. נרצה לאמוד את. µ מצאו רווח סמך ל- µ ברמת-בטחון של 0.95 אם במדגם של 45 תצפיות התקבל: x= 74 (תזכורת על השונות בהתפלגות אחידה רציפה: ( Var( X ) = i ( b a) 1

70 70 פתרונות : שאלה < < µ שאלה 3 א. ב. 3.4< µ < < µ <37.84 שאלה 5 א. 10 ב. 3 ג שאלה 6 4.4> א. 3.58< µ ב. יקטן פי ג. גדל שאלה 7 א. 87 ב. 5 ג שאלה 8 א. 139 ב. 5> 1<µ שאלה 9 התשובה היא : ב שאלה 10 התשובה היא : ג שאלה 11 התשובה היא : ד

71 71 רקע: קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה אם מעוניינים לאמוד את ממוצע האוכלוסייה כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה: σ ברמת סמך של α 1 ושגיאת אמידה שלא תעלה על ε מסוים, נציב בנוסחה הבאה: z α σ 1 ε כדי להציב בנוסחה צריך שהמשתנה הנחקר יתפלג נורמלית או שהמדגם ייצא בגודל של לפחות 30 תצפיות. דוגמה: (פתרון בהקלטה ( חברת תעופה מעוניינת לאמוד את תוחלת משקל המטען של נוסע. נניח שמשקל מטען של נוסע מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ק"ג. כמה נוסעים יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של 98% הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לממוצע האמתי לא יעלה על 0.5 ק"ג? ) תשובה :87 (

72 7 תרגילים: 1. משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה 1. מה צריך להיות גודל המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של 98% שאורכו לא יעלה על?. מעוניינים לאמוד את הדופק הממוצע של מתגייסים לצבא. מעוניינים שבביטחון של 95% שגיאת האמידה המרבית תהיה 0.5. כיצד נניח שהדופק מתפלג נורמאלית על סטיית תקן של 3 פעימות לדקה. א. כמה מתגייסים יש לדגום? ב. אם ניקח מדגם הגדול פי 4 מהמדגם של סעיף א ונאמוד את הממוצע באותה רמת סמך הדבר ישפיע על שגיאת האמידה? יהי X משתנה מקרי עם ממוצע μ וסטיית תקן. σ חוקר רוצה לבנות רווח בר סמך ל μ ברמת ביטחון של 0.95 כך שהאורך של הרווח יהיה. 0.5σ מהו גודל המדגם הנדרש?.3

73 73 פתרונות : שאלה שאלה א. 139 ב. הדבר יקטין את εפי. שאלה 3 =6

74 74 רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה רקע: בבואנו לבנות רווח סמך לתוחלת אנו צריכים להתמקד בשני המצבים הבאים: רווח סמך לתוחלת: שונות האוכלוסייה ידועה שונות האוכלוסייה אינה ידועה בפרק זה נעסוק במקרה ששונות האוכלוסייה( ( אינה ידועה לנו.מקרה יותר פרקטי. X התנאי: ~ N או שהמדגם גדול X ± t ( 1 ) 1 α S רווח סמך: S = ( X X) X i X i i= 1 i= 1 = 1 1 האומד לשונות : התפלגות T: הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא 0. ההתפלגות דומה להתפלגותZרק שהיא יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים. התפלגותTתלויה במושג שנקרא דרגות חופש. דרגות החופש הן.df=-1 ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה. כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות T שואפת להיות כמו התפלגות Z.

75 75 דוגמה : (פתרון בהקלטה) הזמן שלוקח לפתור שאלה מסוימת בחשבון מתפלג אצל תלמידי כיתות ח' נורמאלית. במטרה לאמוד את תוחלת זמן הפתרון נדגמו 4 תלמידים בכיתה ח'. להלן התוצאות שהתקבלו בדקות: 4.7,5.,4.6,5.3. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע זמן הפתרון לשאלה בקרב תלמידי כיתה ח'. פתרון : 4.39< µ <5.51